Question

已知函数f（x）=x²+（x≠0，a∈R）
（1）当a为何值时，函数f（x）为偶函数；
（2）若f（x）在区间[2，+∞）是增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由已知中函数，根据函数奇偶性的定义，可判断出a=0时，f（x）=x2为偶函数；
（2）根据f（x）在区间[2，+∞）是增函数，结合函数单调性的定义，可得当x2＞x1≥2，f（x1）-f（x2）＜0，由此构造关于a的不等式，解不等式可得实数a的取值范围．
【解析】
（1）当a=0时，f（x）=x2为偶函数；当a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）设x2＞x1≥2，=，
由x2＞x1≥2得x1x2（x1+x2）＞16，x1-x2＜0，x1x2＞0
要使f（x）在区间[2，+∞）是增函数只需f（x1）-f（x2）＜0，
即x1x2（x1+x2）-a＞0恒成立，则a≤16．
另解（导数法）：，要使f（x）在区间[2，+∞）是增函数，只需当x≥2时，f'（x）≥0恒成立，即，则a≤2x3∈[16，+∞）恒成立，
故当a≤16时，f（x）在区间[2，+∞）是增函数．