Question

已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（4）=1，对任意x₁，x₂（0，+∞），都有f=f（x₁）+f（x₂），当x∈（0，1）时，f（x）＜0．
（1）求f（1）；              
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

Answer

（1）由已知中f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，可得f（1）的值；
（2）由f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），可得f（x1）-f（x2）=f（），结合x∈（0，1）时，f（x）＜0．及增函数的定义可证得结论
（3）令x1=x2=4，可得f（16）=2，x1=4，x2=16，可得f（64）=3，结合f（x）的定义域为（0，+∞），f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），及（2）中函数的单调性，可将不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3转化为一个关于x的不等式组．本题考查的知识点是抽象函数及其应用
【解析】
（1）∵对任意x1，x2（0，+∞），都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），
令x1=x2=1，
f（1•1）=f（1）+f（1），
则f（1）=0（2分）
（2）设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
∵对任意x1，x2（0，+∞），都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），
∴则f（x1）-f（x2）=f（）
∵0＜x1＜x2，
∴0＜＜1，又当x∈（0，1）时，f（x）＜0，∴f（x1）-f（x2）=，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数（7分）
（3）令x1=x2=4，则f（16）=f（4）+f（4）=2，
令x1=4，x2=16，则f（64）=f（4）+f（16）=3（9分）
∴f（3x+1）+f（2x-6）≤3=f（64）
∴∴x∈（3，5]（12分）