Question

给出下列四个命题：
①如果椭圆的一条弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线的斜率为；
②过点P（0，1）与抛物线y²=x有且只有一个交点的直线共有3条．
③双曲线的焦点到渐近线的距离为b．
④已知抛物线y²=2px上两点A（x₁，x₂），B（x₂，y₂）且OA⊥OB（O为原点），则y₁y₂=-p²．
其中正确的命题有    （请写出你认为正确的命题的序号）

Answer

①利用直线和椭圆的位置关系判断．②利用直线和抛物线的位置关系判断．
③利用双曲线的定义和方程判断．④利用直线和抛物线的位置关系判断．
【解析】
①设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8，y1+y2=4，
将A、B坐标代入椭圆方程，两式相减得，
即，所以这条弦所在的直线的斜率为，所以①正确．
②当过点P（0，1）的直线存在斜率时，设其方程为：y=kx+1，
由，消y得k2x2+（2k-1）x+1=0，
若k=0，方程为-x+1=0，解得x=1，此时直线与抛物线只有一个交点（1，1）；
若k≠0，令△=（2k-1）2-4k2=0，解得k=，此时直线与抛物线相切，只有一个交点；
当过点P（0，1）的直线不存在斜率时，该直线方程为x=0，与抛物线相切只有一个交点；
综上，过点P（0，1）与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有3条．所以②正确．
③双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为y=，即bx-ay=0，所以焦点到渐近线的距离
d=，所以③正确．
④A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，并且满足OA⊥OB．
∴kOA•kOB=-1，∴x1x2+y1y2=0，则，解得y1y2=-4p2，所以④错误．
故答案为：①②③．