Question

设双曲线的顶点为（0，±1），该双曲线又与直线交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）．
（1）求此双曲线的方程；
（2）求|AB|

Answer

（1）利用条件双曲线的顶点为（0，±1），可以假双曲线的方程为，再结合条件OA⊥OB，可求双曲线的标准方程；
（2）求|AB|的长度，利用两点间的距离公式求解．
【解析】
（1）双曲线的顶点为（0，±1），可以假双曲线的方程为，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
∴15x1x2=9y1y2-18（y1+y2）+36，
∴
由 OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴4y1y2-3（y1+y2）+6=0…①
由 和联立消去x，∴（15b2-9）y2+36y-（15b2+36）=0…②
∴y1+y2=，y1y2=，代入①中得b2=3，
经验证，此时△＞0，…（9分）
∴双曲线的方程为=1
（2）将b2=3代入②式中，得4y2+4y-9=0，y1+y2=-1，y1y2=-
∴|AB|=|y2-y1|==4．