Question

已知函数f（x）=ln（ax+1）+-1（x≥0，a＞0）．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若a=1且b＜0，函数，若对于∀x₁∈（0，1），总存在x₂∈（0，1）使得f（x₁）=g（x₂），求实数b的取值范围．

Answer

（1）求导函数，利用（x）在x=1处取得极值，可得f′（1）=0，从而可求a的值；
（2）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可求f（x）的单调区间；
（3）分别求出f（x），g（x）的值域，利用值域之间的包含关系，即可得到结论．
【解析】
（1）求导函数，可得
∵若f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，
∴2a-2=0，∴a=1；
（2）∵（a＞0，x≥0）
若a≥2，x≥0，则f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；
若0＜a＜2，令f′（x）=0，可得或-（舍去）

x （，+∞）
f′（x） - +
f（x） 减 增

∴f（x）在上是减函数，在（，+∞）上是增函数；
（3）a=1，由（2）得f（x）在（0，1）上是减函数，
∴ln2＜f（x）＜1，即f（x）的值域A=（ln2，1），
又g′（x）=b（x-1）（x+1）
∵b＜0，∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0
∴g（x）在（0，1）上单调递增
∴g（x）的值域B=（0，-）
∵∀x1∈（0，1），总存在x2∈（0，1）使得f（x1）=g（x2），
∴A⊆B
∴
∴．