Question

如图，线段AB的两个端点A、B分别分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=5，点M是AB上一点，且|AM|=2，点M随线段AB的运动而变化．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）设F₁为点M的轨迹的左焦点，F₂为右焦点，过F₁的直线交M的轨迹于P，Q两点，求的最大值，并求此时直线PQ的方程．

Answer

（1）利用代入法，即可求点M的轨迹方程；
（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，可得，换元，利用基本不等式，即可求面积的最大值，从而求此时直线PQ的方程．
【解析】
（1）由题可知AM=AB，且可设A（x，0），M（x，y），B（0，y），
则可得，
又|AB|=5，即，∴，这就是点M的轨迹方程．
（2）由（1）知F1为（，0），F2为（，0），
由题设PQ为，
直线方程代入椭圆方程，可得（4m2+9）y2--16=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则△＞0恒成立，且，
∴==
令t=（t≥1），则=≤6，
当且仅当，即m=时取“=”
∴的最大值为6，
此时PQ的方程为2x+y-2=0或2x-y-2=0．