Question

已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函数g（x）在（-∞，0）内为单调递减函数，且g=g（x）+g（y）对任意的x，y都成立，g（2）=1．
（1）证明g（x）在（0，+∞）内为单调递增函数
（2）求g（4）的值；
（3）求满足条件g（x）＞g（x+1）+2的x的取值范围．

Answer

（1）设0＜x1＜x2，则0＞-x1＞-x2，利用偶函数的关系式和单调性进行转化，得到g（x1）＜g（x2），即得证；
（2）由g（x•y）=g（x）+g（y）对任意的x，y都成立及g（2）=1，取x=y=2可求g（4）；  
（3）结合（2）和已知把不等式化为g（x）＞g[4（x+1）]，g（x）为偶函数，且在（-∞，0）为单调递减函数，可得g（x）在（0，+∞）为单调递增函数．从而可得|x|＞4|x+1|，|x+1|≠0，解不等式可求x的取值范围．
【解析】
（1）设0＜x1＜x2，则0＞-x1＞-x2，
∵g（x）在（-∞，0）为单调递减函数，∴g（-x1）＞g（-x2），
∵g（x）为偶函数，∴-g（x1）＞-g（x2），即g（x1）＜g（x2），
∴g（x）在（0，+∞）为单调递增函数．
（2）令x=y=2代入g（x•y）=g（x）+g（y）得，
g（4）=g（2×2）=g（2）+g（2）=2，
（3）∵g（x）＞2+g（x+1）=g（4）+g（x+1）=g[4（x+1）]
∵g（x）为偶函数，∴g（|x|）＞g[|4（x+1）|]
由（1）得，g（x）在（0，+∞）为单调递增函数，
∴
解得或，
综上x的取值范围为．