Question

设a为实数，记函数的最大值为g（a）．
（1）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；
（2）求g（a）．

Answer

（1）令，由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1，再由，且t≥0…①，可得t的取值范围是，进而得m（t）的解析式．
（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=，的最大值，直线是抛物线m（t）=的对称轴，分a＞0、a=0、a＜0三种情况利用函数的单调性求出函数f（x）的最大值为g（a）．
【解析】
（1）∵，∴要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1．
∵，且t≥0…①，∴t的取值范围是．
由①得：，∴=，．
（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=，的最大值，
∵直线是抛物线m（t）=的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
1）当a＞0时，函数y=m（t），的图象是开口向上的抛物线的一段，
由知m（t）在上单调递增，故g（a）=m（2）=a+2；
2）当a=0时，m（t）=t，在上单调递增，有g（a）=2；
3）当a＜0时，，函数y=m（t），的图象是开口向下的抛物线的一段，
若即时，g（a）=，
若即时，g（a）=，
若∈（2，+∞）即时，g（a）=m（2）=a+2．
综上所述，有g（a）=．