Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-2），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A（0，3）的直线l与椭圆交于M、N两点，且|BM|=|BN|，求直线l的方程．

Answer

（I）利用离心率，b=2，a2=b2+c2即可得出；
（2）当直线l斜率不存在时，易知不满足题设要求．可设直线l的方程为：y=kx+3，M（x1，y1），N（x2，y2）．MN的中点为P（x，y）．
把直线方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，由于|BM|=|BN|，利用垂直平分即可得出直线BP的斜率．
【解析】
（Ⅰ）∵椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，可设椭圆：
椭圆一个顶点为B（0，-2），∴b=2，
∵离心率为，∴，∴．①
又∵a2=c2+b2，∴a2=c2+4…②
     联立①②解得，a2=12      
∴椭圆的方程为：．
（Ⅱ）当直线l斜率不存在时，易知不满足题设要求．
可设直线l的方程为：y=kx+3，M（x1，y1），N（x2，y2）．MN的中点为P（x，y）．
由 消去x 得 （3k2+1）x2+18kx+15=0，
要使直线l与椭圆交于M、N两点，则必须满足：△=（18k）2-60×（3k2+1）＞0，即 …（*）
则，∴
则，
∵|BM|=|BN|，∴BP⊥MN，
又 B（0，-2），
解得：，满足（*）式   
∴直线l的方程是．