Question

已知函数，g（x）=2（x+2）²，h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）与g（x）的公共单调区间；
（Ⅱ）若函数h（x）有极值，求实数a的何值范围；
（Ⅲ）当a＜0时，讨论函数h（x）的零点个数．

Answer

（Ⅰ）利用导数求函数的公共单调区间．
（Ⅱ）利用函数h（x）有极值，求实数a的何值范围．
（Ⅲ）利用导数研究函数h（x） 的零点个数．
【解析】
（Ⅰ）当a=1时，f'（x）=x2+2x=x（x+2）…（1分）
由f'（x）＞0得x＜-2或x＞0，由f'（x）＜0得-2＜x＜0，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-2），（0，+∞），递减区间是（-2，0），…（3分）
又g（x）的对称轴为x=-2且开口向上，
∴g（x）的单调递增区间是（-2，+∞），递减区间是（-∞，-2），…（4分）
∴a=1时，f（x）与g（x）的公共单调递增区间是（0，+∞），无公共递减区间…（5分）
（Ⅱ）
∴h'（x）=ax2+2（a+2）x+8=（ax+4）（x+2）…（6分）
①当a=0时，h'（x）=2x2+8x+12=2（x+2）2+4在（-2，+∞）递增，
在（-∞，-2）递减，则h（x）有极小值，符合题设…（7分）
②当a≠0时，令h'（x）=0得，x1=-2，，
若函数h（x）有极值，h'（x）=0两个相异实根，∴-2，得 a≠2
综上（1）（2）得，若函数h（x）有极值，实数a的何值范围是：{a/a≠2，a∈R}…（9分）
（Ⅲ）∵a＜0，由h'（x）=（ax+4）（x+2）=0得x=-2或，
则＞-2
将x，h'（x），h（x）的变化情况列表如下：

x （-∞，-2） -2 （-2，） （，+∞）
h'（x） - + -
h （ x ） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘

∴，h（x）极大值＞h（0）=12＞0…（11分）
（另【解析】
设=t，，亦可）
当即-3＜a＜0时，在x充分大时，h（x）＜0，∴h（x）零点个数为1；
当即a=-3时，h（x）零点个数为2；
当即a＜-3时，h（x）零点个数为3；               …（13分）
综上所述，当-3＜a＜0时，h（x）零点个数为1；当a=-3时，h（x）零点个数为2；
当a＜-3时，h（x）零点个数为3．…（14分）