Question

已知定义域为R的单调函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）由定义域为R的函数f（x）是奇函数，知f（0）=0．当x＜0时，，由函数f（x）是奇函数，知，由此能求出f（x）的解析式．
（2）由且f（x）在R上单调，知f（x）在R上单调递减，由f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0，得f（t2-2t）＜-f（2t2-k），再由根的差别式能求出实数k的取值范围．
【解析】
（1）∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，
，
又∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴，
综上所述．
（2）∵，
且f（x）在R上单调，
∴f（x）在R上单调递减，
由f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0，
得f（t2-2t）＜-f（2t2-k），
∵f（x）是奇函数，
∴f（t2-2t）＜f（k-2t2），
又∵f（x）是减函数，
∴t2-2t＞k-2t2
即3t2-2t-k＞0对任意t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0得即为所求．