Question

一个四棱锥的直观图和三视图如图所示：
（1）求证：DA⊥PD；
（2）若M为PB的中点，证明：直线CM∥平面PDA；
（3）若PB=1，求三棱锥A-PDC的体积．

Answer

（1）根据三视图，得PB⊥面ABCD，可得PB⊥DA．梯形ABCD中，根据题中数据证出BD2+AD2=AB2，从而DA⊥BD，再利用线面垂直判定定理即可证出DA⊥平面PBD，可得DA⊥PD；
（2）取PA中点N，连结MN、DN，利用三角形中位线定理，结合梯形ABCD证出四边形MNDC是平行四边形，得CM∥DN，根据线面平行判定定理，即可得到CM∥平面PDA；                   
（3）根据（1）的结论，PB是三棱锥P-CDA的高，结合题中数据算出三棱锥P-CDA的体积为，即可得到三棱锥A-PDC的体积．
【解析】
由三视图可知：PB⊥面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PB=BC=CD=1且AB=2
（1）∵PB⊥面ABCD，DA⊂面ABCD，∴PB⊥DA
在梯形ABCD中，PB=BC=CD=1，AB=2
∴BD=，AD=，可得BD2+AD2=4=AB2，
∴DA⊥BD，
又∵PB、BD是平面PBD内的相交直线，
∴DA⊥平面PBD，结合PD⊂平面PBD，可得DA⊥PD；                …（5分）
（2）取PA中点N，连结MN、DN，
∵MN是△PAB的中位线，∴MNAB，
又∵梯形ABCD中，CDAB，
∴MNCD，可得四边形MNDC是平行四边形，得CM∥DN，
∵CM⊄平面PDA，DN⊂平面PDA，∴CM∥平面PDA                   …（9分）
（3）∵PB⊥面ABCD，得PB是三棱锥P-CDA的高，
∴三棱锥P-CDA的体积VP-CDA=S△CDA×PB==
∴三棱锥A-PDC的体积V=VP-CDA=                   …（12分）