Question

设函数f（x）=（1+x）²+ln（1+x）²．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[-1，e-1]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

Answer

（1）确定函数定义域，求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）确定函数在[-1，e-1]上的单调性，从而可得函数的最大值，不等式，即可求得实数m的取值范围；
（3）方程f（x）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）2=0，记g（x）=x-a+1-ln（1+x）2．求导函数，确定函数在区间[0，2]上的单调性，为使f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实根，从而可建立不等式，由此可求实数a的取值范围．
【解析】
（1）函数定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），
因为=，
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0，由f′（x）＜0得x＜-2或-1＜x＜0．
∴函数的递增区间是（-2，-1），（0，+∞），递减区间是（-∞，-2），（-1，0）．
（2）由f′（x）==0得x=0或x=-2．由（1）知，f（x）在[-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增．
又f（-1）=+2，f（e-1）=e2-2，
∴=＞0
∴e2-2＞+2．所以x∈[-1，e-1]时，[f（x）]max=e2-2．故m＞e2-2时，不等式f（x）＜m恒成立．
（3）方程f（x）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）2=0，记g（x）=x-a+1-ln（1+x）2．
所以g′（x）=1-=．
由g′（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
所以g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，
为使f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实根，于是有
，∴，
∴2-2ln2＜a≤3-2ln3．