Question

如图，已知圆G：x²+y²-2x-y=0经过椭圆的右焦点F及上顶点B．过点M（m，0）作倾斜角为的直线l交椭圆于C、D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点Q（1，0）恰在以线段CD为直径的圆的内部，求实数m范围．

Answer

（1）利用已知即可得到点F，B的坐标，即可得到c，b，再利用a2=b2+c2即可；
（2）把直线的方程与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系，又点Q（1，0）在以线段CD为直径的圆内，即可得到．代入即可得到m的取值范围．
【解析】
（1）∵圆G：经过椭圆的右焦点F及上顶点B．
∴F（2，0），B（0，），∴c=2，b=，
∴a2=b2+c2=6．
∴椭圆的方程为．
（2）由题意l的方程为：．
设C（x1，y1），D（x2，y2）．
联立，消去y整理得2x2-2mx+m2-6=0．
由△＞0得到4m2-4×2（m2-6）＞0，解得．
∴x1+x2=m，．
又点Q（1，0）在以线段CD为直径的圆内，∴．
∴（x1，y1）•（x2-1，y2）＜0，
∴＜0．
∴．
∴2m2-3m-9＜0，
解得．
综上所述，m的取值范围是．