已知函数f（x）=-x2+ax+1-lnx．且在x=1处取得极值；（Ⅰ）求a的...

已知函数f（x）=-x²+ax+1-lnx．且在x=1处取得极值；
（Ⅰ）求a的值；并求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

（Ⅰ）先求函数的定义域，然后求导，利用导数的几何意义求切线方程．（Ⅱ）利用f'（x）＜0，求函数的单调递减区间．【解析】（Ⅰ）要使函数有意义，则x＞0．函数的导数为，因为函数在x=1处取得极值，所以f'（1）=-2+a-1=0，解得a=3．所以f（x）=-x2+3x+1-lnx，，所以f（2）=-4+6+1-ln2=3-ln2，，所以函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由，即2x2-3x+1＜0，解得，即函数的增区间为（）．由，得2x2-3x+1＞0，解得，即函数的减区间为（0，）和（1，+∞）．

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考点分析：

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