Question

已知函数f（x）=，其中常数（a＜0）．
（I）若a=-1，求函数f（x）的定义域及极值；
（Ⅱ）若存在实数x∈（a，0]，使得不等式成立，求a的取值范围．

Answer

（1）函数的分母不为0，可求函数的定义域；求导函数，令其大于0（小于0），结合函数的定义域，可求函数的单调区间，从而函数极值点与极值可求．
（2）由已知，f（x）=只需在（a，0]上的最小值大于等于 即可．
【解析】
：（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠a}，若a=-1，则f（x）==
f′（x）==，
由f'（x）=0，解得x=0
由f'（x）＞0，解得x＞0．由f'（x）＜0，解得x＜0且x≠-1．
∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，-1），（-1，0）．所以f（x）在x=0时取得极小值f（0）=1
（2）由题意可知，a＜0，且f（x）=只需在（a，0]上的最小值大于等于即可，
①若a+1＜0即a＜-1时，

x （a，a+1） a+1 （a+1，0）
f'（x） - +
f（x） ↘ 极小值 ↗

∴f（x）在（a，0]上的最小值为f（a+1）=ea+1．则，得
②若a+1≥0即a≥-1时，f（x）在（a，0]上单调递减，则f（x）在（a，0]上的最小值为
由得a≥-2． …10分
综上所述，0＞