Question

已知函数
（1）g（x）在其定义域内的单调函数，求p的取值范围；
（2）求证：lnx≤x-1（x＞0）
（3）求证：（n∈N^*，n≥2）

Answer

（1）求导函数，根据导数的正负，可得不等式，从而可求p的取值范围；
（2）设k（x）=lnx-x+1，证明函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，即可得到结论；
（3）根据（2）的结论，利用放缩法，即可得到结论．
（1）【解析】
求导函数，可得（x＞0）
∵g（x）在其定义域内的单调函数，
∴或或p=0
∴p≤-1或p≥1或p=0--------------------------------（4分）
（2）证明：设k（x）=lnx-x+1，则（x＞0）
∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，k（x）取极大值，
∴k（x）≤k（1）=0，即f（x）≤x-1（x＞0）-------------------------------（8分）
（3）证明：由（2）知，，
令，即，
∴
=--------（12分）