Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2，试求函数f（x）的极值．

Answer

先求出导数，再由取得极值的条件切线的斜率，列出方程求出a、b的值，代入求出解析式和导数．再求临界点和函数的单调区间，求出函数的极值．
【解析】
由题意得，f′（x）=3x2+2ax+b，
∵在x=2处有极值，∴f′（2）=12+4a+b=0      ①，
∵在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2，
∴f′（1）=3+2a+b=-3                      ②，
由①②解得，a=-3，b=0，∴f（x）=x3-3x2，
由f′（x）=3x2-6x=0得，x=0或2，
当x＜0或x＞2时，f′（x）＞0，
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，
即函数的增区间是（-∞，0），（2，+∞），减区间是（0，2），
当x=0时，函数f（x）取极大值为0，
当x=2时，函数f（x）取极小值为f（2）=-4．