先设设长方体的宽为x(m),利用长方体的体积公式求得其体积表达式,再利用导数研究它的单调性,进而得出此函数的最大值即可.
【解析】
设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为.
故长方体的体积为V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x3(m3).
从而V′(x)=18x-18x2=18x(1-x).
令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.
当0<x<1时,V′(x)>0;当1<x<时,V′(x)<0,
故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值.
从而最大体积V=V′(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为2m,高为1.5m.
答:当长方体的长为2m时,宽为1m,高为1.5m时,体积最大,最大体积为3m3.