Question

（1）已知a，b，c∈R，且a+b+c=1，求证：a²+b²+c²≥；
（2）a，b，c为互不相等的正数，且abc=1，求证：++＞++．

Answer

（1）利用条件a+b+c=1，两边平方，利用基本不等式，即可证得结论．
（2）根据条件可化为++=bc+ac+ab=++或者++=++，应用基本不等式即可证得结论．
证明 （1）∵a+b+c=1，∴（a+b+c）2=1，
由a2+b2≥2ab得
a2+b2+c2=（a2+b2+b2+c2+c2+a2+a2+b2+c2）
≥（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac）
=（a+b+c）2=．
（2）法一 由左式推证右式
∵abc=1，且a，b，c为互不相等的正数，
∴++=bc+ac+ab=++
＞++（基本不等式）
=++．
∴++＞++．
法二 由右式推证左式
∵a，b，c为互不相等的正数，且abc=1，
∴++=++
＜++（基本不等式）=++．