Question

已知{a_n}是首项为2，公比为的等比数列，S_n为它的前n项和．
（1）用S_n表示S_n+1；
（2）是否存在自然数c和k，使得成立．

Answer

（1）利用等比数列的前n项和公式分别表示出sn与sn+1，对比找出其关系即可；
（2）假设存在自然数c和k，利用（1）的结论及sk的范围，推出c的可能取值，然后逐一验证即可．
解（1）由，得．
（2）要使，只要．
因为，所以，
故只要．①
因为Sk+1＞Sk（k∈N），所以，
又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3．
当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c＜Sk不成立，从而①不成立．
因为，由Sk＜Sk+1（k∈N），得，所以当k≥2时，，从而①不成立．
当c=3时，因为S1=2，S2=3，
所以当k=1，2时，c＜Sk不成立，从而①不成立．
因为，又，
所以当k≥3时，，从而①不成立．
故不存在自然数c、k，使成立．