Question

已知函数f（x）=ax（x-1）²+1，（x∈R）和函数g（x）=（2-a）x³+3ax²-ax，（x∈R）
（Ⅰ）令h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在[1，+∞）上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
（Ⅱ）当a＜0时，若F（x）=f（x）+a有极大值-7，求实数a的值．

Answer

（Ⅰ）对函数h（x）求导，利用函数h（x）在[1，+∞）上存在单调递减区间，则说明h'（x）＜0有解．
（Ⅱ）利用函数F（x）=f（x）+a有极大值-7，可求实数a的值．
【解析】
（Ⅰ）∵h（x）=f（x）+g（x）=2x3+ax2+1．
∴h'（x）=6x2+2ax，…（2分）
由题意要使函数h（x）在[1，+∞）上存在单调递减区间，h'（x）＜0在[1，+∞）上有解．
∵h'（x）=6x2+2ax=0，解得x=0或x=．
由图象可知当（图④正确），解得a＜-3．
（Ⅱ）F（x）=f（x）+a=ax（x-1）2+a+1，
所以F'（x）=a（3x2-4x+1），令F'（x）=0，得3x2-4x+1=0，解得x=1或x=．
列表：

 x  （-）    （）  1  （1，+∞）
F'（x） -   +   -
 F（x）  递减  极小值 递增  极大值a+1  递减 

∴F（x）在x=1处取得极大值-7，即a+1=-7，解得a=-8．