Question

如图，过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
（I）若，证明：；
（II）在（I）条件下，若点Q是点P关于原点对称点，证明：；
（III）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

Answer

（I）利用向量相等，即可证明；
（II）依题意，可设直线AB的方程为y=kx+m，代入抛物线方程，得到根与系数的关系，点Q是点P关于原点的称点，故点Q（0，-m），从而，进而得到，利用根与系数的关系及其数量积运算即可得出=0即可证明．
（III）直线AB的方程与抛物线方程联立即可解得点A，B的坐标，利用导数即可切线的斜率，再利用圆的切线的性质及圆的标准方程即可解得．
【解析】
（I）∵，∴-x1=λx2，（x2≠0），即．
（II）依题意，可设直线AB的方程为y=kx+m，
代入抛物线方程x2=4y得x2-4kx-4m=0 ①
∵直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
∴x1x2=-4m．
点Q是点P关于原点的称点，
故点Q（0，-m），从而，
∴=（x1，y1+m）-λ（x2，y2+m）=（x1-λx2，y1-λy2+（1-λ）m），
∴=2m[y1-λy2+（1-λ）m]====0
∴．
（III）由得点A、B坐标分别是（6，9）、（-4，4），
由x2=4y得，∴，
所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y′|x=6=3．
设圆C的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2
则，
解之得，，，
即x2+y2+3x-23y+72=0．