Question

设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（）=1，
（1）求f（1），f（），f（9）的值，
（2）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．

Answer

（1）对题设条件中的恒等式进行赋值，依次可求出f（1），f（），f（9）的值
（2）利用题设条件将f（x）+f（2-x）＜2这为f[x（2-x）]＜f（），再利用函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数解不等式．
【解析】
（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0（2分）
令x=3，y=，则f（1）=f（3）+f（），∴f（3）=-1
∴f（）=f（）=f（）+f（）=2（4分）
∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=-2（6分）
（2）∵f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜2=f（），（8分）
又由函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数得：（11分）
解之得：．（13分）