Question

如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，BC=1，AE=BE=，若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM+MN+NB的最小值为    ．

Answer

由面面垂直性质定理，得到AD⊥平面ABCD，从而Rt△ADE中，根据题中数据算出∠AED=∠AED=30°．证出△CDE中，是边长为2的等边三角形，从而∠DEC=60°．将四棱锥E-ABCD的侧面沿展开铺平如图，在展开图△ABE中由余弦定理算出AB长等于3，即为AM+MN+NB的最小值．
【解析】
∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB
∴AD⊥平面ABCD，
可得Rt△ADE中，AD=1，AE=，
∴∠AED=30°，同理得到∠BEC=30°
∵△CDE中，CD=DE=CE=2，∴∠DEC=60°，
将四棱锥E-ABCD的侧面AED、DEC、CEB沿DE、CE展开铺平如图，
则展开图△ABE中，∠AEB=120°，由余弦定理得
AB2=AE2+BE2-2AE•BE•cos120°=3+3-2×3×（-）=9，
解之得AB=3，即AM+MN+BN的最小值为3．
故答案为：3．