Question

如图组合体中，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面ABB₁A₁是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点．
（1）求证：无论点C如何运动，平面A₁BC⊥平面A₁AC；
（2）当C是弧AB的中点时，求四棱锥A₁-BCC₁B₁与圆柱的体积比．

Answer

（I）欲证平面A1BC⊥平面A1AC，根据面面垂直的判定定理可知在平面A1BC内一直线与平面A1AC垂直，根据侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点，则AC⊥BC，又圆柱母线AA1⊥平面ABC，BC属于平面ABC，则AA1⊥BC，又AA1∩AC=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AC，而BC属于平面A1BC，满足定理所需条件；
（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧的中点时，求出三棱柱ABC-A1B1C1的体积，求出三棱锥A1-ABC的体积为，从而求出四棱锥A1-BCC1B1的体积，再求出圆柱的体积，即可求出四棱锥A1-BCC1B1与圆柱的体积比．
【解析】
（I）因为侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点，所以AC⊥BC（2分）
又圆柱母线AA1⊥平面ABC，BC属于平面ABC，所以AA1⊥BC，
又AA1∩AC=A，所以BC⊥平面A1AC，
因为BC⊂平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面A1AC；（6分）

（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，
当点C是弧的中点时，三角形ABC的面积为r2，
三棱柱ABC-A1B1C1的体积为r2h，
三棱锥A1-ABC的体积为，
四棱锥A1-BCC1B1的体积为r2h-=，（10分）
圆柱的体积为πr2h，
四棱锥A1-BCC1B1与圆柱的体积比为2：3π．（12分）