Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a∈N^*），若不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）利用“3个二次”的关系即可得出；
（2）不等式恒成立问题，通过分离参数转化为可以利用基本不等式求函数的最值．
【解析】
（1）∵不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），
∴f（1）-2=0，f（4）-8=0，且a＞0．
又方程f（x）=x有两个相等的实数根，即ax2+（b-1）x+c=0的△=（b-1）2-4ac=0．
联立，解得．
∴f（x）=x2-3x+4．
（2）不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立⇔在x∈（1，+∞）上恒成立；
令g（x）=，则，当且仅当x=2时取等号．
∴m＜1．