Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-9x在x=3处取得极大值0．
（Ⅰ）求f（x）在区间[0，1]上的最大值；
（Ⅱ）若过点P（-1，m）可作曲线y=f（x）的切线有三条，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由f′（x）=3ax2+2bx-9，知，由此能求出fmax（x）．
（Ⅱ）设过P点的切线切曲线于点（x，y），则切线的斜率k=-3x2+12x-9，所以切线方程为y=（-3x2+12x-9）（x+1）+mw，故y=（-3x2+12x-9）（x+1）+m=-x3+6x2-9x．由此能求出满足条件的m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵f′（x）=3ax2+2bx-9，
且在x=3处取得极大值0．
∴
∴f′（x）=-3x2+12x-9=-3（x-1）（x-3）
当x∈[0，1]时，f′（x）≤0，
∴f（x）在[0，1]上单调递减．
∴fmax（x）=f（0）=0．…（6分）
（Ⅱ）设过P点的切线切曲线于点（x，y），则切线的斜率k=-3x2+12x-9
所以切线方程为y=（-3x2+12x-9）（x+1）+mw
故y=（-3x2+12x-9）（x+1）+m=-x3+6x2-9x…（9分）
要使过P可作曲线y=f（x）的切线有三条，
则方程（-3x2+12x-9）（x+1）+m=-x3+6x2-9x有三解∴m=2x°3-3x°2-12x°+9，令g（x）=2x3-3x2-12x+9
则g′（x）=6x2-6x-12=6（x+1）（x-2）…（12分）
易知x=-1，2为g（x）的极值大、极小值点，又g（x）极小=-11，g（x）极大=16，
故满足条件的m的取值范围-11＜m＜16．…（15分）