Question

已知函数，其中a＞0且a≠1．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明．

Answer

（1）由解析式求出函数的定义域，再化简f（-x），判断与f（x）的关系，再下结论；
（2）取值x1＜x2，再作差f（x1）-f（x2）并代入解析式化简，对a分类后讨论式子的符号，再得到“f（x1）-f（x2）”的符号，根据函数单调性的定义下结论．
【解析】
（1）由题意得f（x）的定义域为R，
且，-------------（2分）
∴f（x）是奇函数．------------------------------------------------（4分）
证明：（2）设x1＜x2，则．--------------------（6分）
当a＞1时，，得f（x1）-f（x2）＜0，即 f（x1）＜f（x2），
这时f（x）在R上是增函数；-------------------------------------------------------------（9分）
当0＜a＜1时，，得f（x1）-f（x2）＞0，即 f（x1）＞f（x2），
这时f（x）在R上是减函数．-----------------------------------------（12分）