Question

建造一个容积为6400立方米，深为4米的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为每平方米200元，池底的造价为每平方米100元．
（1）把总造价y元表示为池底的一边长x米的函数；
（2）蓄水池的底边长为多少时总造价最低？总造价最低是多少？

Answer

（1）水池总造价函数为y=池底造价+池壁造价，代入整理即可；
（2）由（1）得出总造价函数，应用函数单调性的定义研究其单调性，从而得出这个函数在（0，40]上是减函数，在[40，+∞）增函数，可求得函数的最小值以及对应的x的值．
【解析】
（1）由已知池底的面积为1600平方米，底面的另一边长为米，--------（1分）
则池壁的面积为平方米．------------------------------------（3分）
所以总造价：（元），x∈（0，+∞）．-------------（5分）
（2）设0＜x1＜x2，则
--（7分）
当0＜x1＜x2≤40时，x1-x2＜0，，得y1-y2＞0，即 y1＞y2．----------（9分）
当40＜x1＜x2时，x1-x2＜0，，得y1-y2＜0，即 y1＜y2．---（11分）
从而这个函数在（0，40]上是减函数，在[40，+∞）增函数，当x=40时，ymin=288000．
所以当池底是边长为40米的正方形时，总造价最低为288000元．---------------（14分）