Question

设抛物线y²=4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过点M作直线l交抛物线于A，B两点．若直线l的斜率依次取p，p²，…，pⁿ时，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点依次为N₁，N₂，…，N_n，当0＜p＜1时，求的值．

Answer

根据题意，设直线l的方程为y=pn（x+p），与抛物线方程联解算出AB的中点坐标为（，），从而得到AB中垂直方程，然后在此方程中令y=0，得到得当斜率时Nn的横坐标为．由此代入算出关于p的表达式，证出成公比为p2＜1的等比数列，利用无穷递缩等比数列的求和公式即可算出S的值．
【解析】
∵抛物线y2=4px（p＞0）准线为x=-p
∴M（-p，0），可得直线l的方程为y=pn（x+p）
与抛物线y2=4px消去x，得y2-+4p2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2）
可得y1+y2=，y1y2=4p2，所以x1+x2=（y12+y22）=
∴线段AB的中点坐标为（，），即（，）
因此，线段AB的垂直平分线为y-=[x-]
令y=0，得xn=，得当斜率时，．
因此，|NnNn+1|=|xn+1-xn|=，
所以，
所以是以为首项，以p2为公比的等比数列，且0＜p2＜1，
故=．