如图，已知曲线C1：y=x3（x≥0）与曲线C2：y=-2x3+3x（x≥0）交...

如图，已知曲线C₁：y=x³（x≥0）与曲线C₂：y=-2x³+3x（x≥0）交于O，A，直线x=t（0＜t＜1）与曲线C₁，C₂分别交于B，D．
（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f（t）；
（Ⅱ）讨论f（t）的单调性，并求f（t）的最大值．

（Ⅰ）先求出两曲线的交点O、A坐标，由直线x=t（0＜t＜1）与曲线C1，C2分别交于B，D表示出BD的长，利用四边形ABOD的面积等于三角形ABO的面积+三角形OBD的面积；即可表示函数f（t）的关系式；（Ⅱ）令f'（t）=0解得t，分区间讨论f（t）的增减性得到哦f（t）的最大值及此时t的值即可．【解析】（Ⅰ）由得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）.，即．（Ⅱ）．令f'（t）=0解得．当，从而f（t）在区间上是增函数；当，从而f（t）在区间上是减函数．所以当时，f（t）有最大值为．

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考点分析：

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如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC₁上是否存在一点E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．