Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF⊥AC，EF⊥A₁D则EF和BD₁的关系是    ．

Answer

法一：先证EF垂直面AB1C，然后再BD1证垂直面AB1C，最后利用直线与平面垂直的性质定理即可得知结论；
法二：建立以D1为原点的空间直角坐标系D1-xyz，设正方形的边长为1，利用向量法，我们易求出BD1与A1D和AC都垂直，根据共垂线的性质，可以得到答案．
【解析】
法一：根据图象可知：
EF⊥AC，EF⊥A1D，A1D∥B1C，B1C⊥EF，AC∩B1C=C，
∴EF⊥面AB1C，而BD1⊥面AB1C，即BD1∥EF．
法二：建立以D1为原点的空间直角坐标系D1-xyz，且设正方形的边长为1
所以就有D1（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，0），D（0，0，1），A（1，0，1），C（0，1，1）
所以 =（-1，0，1），=（-1，1，0），=（-1，-1，1）
所以 •=-1+1=0 所以A1D⊥BD1，
•=1-1=0 所以AC⊥BD1，
所以BD1与A1D和AC都垂直
又∵EF是AC、A1D的公共垂线，
∴BD1∥EF．
故答案为：平行．