Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，高为，D是BC的中点，D₁是B₁C₁的中点，求证：
（1）平面A₁BD₁∥平面ADC₁；
（2）CB₁⊥平面ADC₁．

Answer

（1）连结D1D，正三棱柱ABC-A1B1C中运用平行四边形性质证出四边形AA1D1D是平行四边形，得A1D1∥AD，结合线面平行判定定理得AD∥平面A1BD1，同理C1D∥平面A1BD1，结合面面平行判定定理得平面A1BD1∥平面ADC1；
（2）连结B1C，矩形BB1C1C中利用三角函数证出CB1⊥C1D．由线面垂直的性质与判定，结合正三棱柱性质证出
AD⊥CB1，结合AD、C1D是平面ADC1内的相交直线，可得CB1⊥平面ADC1．
【解析】
（1）连结D1D，
∵矩形BB1C1C中，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，
∴D1D∥B1B，且D1D=B1B
又∵A1A∥B1B，且A1A=B1B，
∴A1A∥D1D且A1A=D1D，可得四边形AA1D1D是平行四边形，得A1D1∥AD
∵A1D1⊂平面A1BD1且AD⊈平面A1BD1，∴AD∥平面A1BD1，
同理可得C1D∥平面A1BD1，
∵C1D、AD是平面ADC1内的相交直线，∴平面A1BD1∥平面ADC1；
（2）连结B1C，则
∵Rt△BB1C中，tan∠BCB1=，Rt△CDC1中，tan∠DC1C==
∴矩形BB1C1C中，∠BCB1=∠DC1C=90°-∠C1CB1，
可得∠C1CB1+∠DC1C=90°，得CB1⊥C1D
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥BC，AD⊥BB1，BC∩BB1=B
∴AD⊥平面BB1C1C，结合CB1⊂平面BB1C1C，得AD⊥CB1，
∵AD、C1D是平面ADC1内的相交直线
∴CB1⊥平面ADC1．