Question

已知点P（0，5）及圆C：x²+y²+4x-12y+24=0．
（1）若直线l过点P且与C交于M、N两点，当|MN|=4时，求直线l的方程；
（2）求过点P的圆C的弦的中点Q的轨迹方程．

Answer

（1）分类讨论，利用直线与圆相切，结合点到直线的距离公式，即可得到结论；
（2）利用P（0，5），C（-2，6）满足：，化简即可得到结论．
【解析】
（1）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=0，
由y2-12y+24=0得：，满足|MN|=4
则l的方程为：x=0；
②设l：y=kx+5即：kx-y+5=0
∵|MN|=4，圆C：（x+2）2+（y-6）2=16
∴
∴k=
∴l：3x-4y+20=0．
于是l：3x-4y+20=0或x=0．
（2）设Q（x，y）
∵P（0，5），C（-2，6）满足：，
∴（x+2）x+（y-6）（y-5）=0，即Q的轨迹方程为：x2+y2+2x-11y+30=0．（轨迹在圆C内）