Question

定义y=log_（1+x）F（x，y），x、y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函数f（x）=F（x，2）-3x，过坐标原点O作曲线C：y=f（x）的切线l，切点为P（n，t）（n＞0），设曲线C与l及y轴围成图形的面积为S，求S的值．
（Ⅱ）令函数g（x）=F（x，2）+alnx，讨论函数g（x）是否有极值，如果有，说明是极大值还是极小值．
（Ⅲ）证明：当x，y∈N*且x＜y时，F（x，y）＞F（y，x）．

Answer

（I）先确定切线方程，再利用定积分知识求面积；
（II）求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的极值；
（III）令，证明h（x）在[1，+∞）上单调递减，1≤x＜y时，，从而可得结论．
（I）【解析】
∵y=log（1+x）F（x，y），x、y∈（0，+∞），
∴f（x）=x2-x+1，x∈（0，+∞），∴A（0，1），f′（x）=2x-1
∵过坐标原点O作曲线C：y=f（x）的切线l，切点为P（n，t）（n＞0），
∴
∴P（1，1），∴切线l的方程为y=x，
∴；
（II）【解析】
∵g（x）=（1+x）2+alnx，x∈（0，+∞）
∴
①△=4-8a≤0，即时，g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，从而没有极值；
②当△=4-8a＞0即时，方程2x2+2x+a=0有二个不等实根，，
若，则x1＜0，x2≤0，g'（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，从而没有极值；
若a＜0，则x1＜0，x2＞0，函数在（0，x2）上，g'（x）＜0，单调递减，在（x2，+）上，g'（x）＞0，单调递增
∴x=x2，g（x）有极小值，没有极大值；
（III）证明：令，则
令p（x）=，则
∴p（x）在（0，+∞）上单调递减
∴x＞0时，p（x）＜p（0）=0
∴x≥1时，h′（x）＜0
∴h（x）在[1，+∞）上单调递减
∴1≤x＜y时，
∴yln（1+x）＞xln（1+y）
∴（1+x）y＞（1+y）x
∴F（x，y）＞F（y，x）．