Question

定义在R上的函数y=f（x）满足，，任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

由题意可得y=f（x）的图象关于直线x=对称，在（，+∞）上是增函数，在（-∞，）上是减函数．
根据任意的x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），可得 x1+x2＜5． 由x1+x2＜5可得x2 -＜-x1，即x1离对称轴较远，
故f（x1）＞f（x2），由此得出结论．
【解析】
∵，∴f（x）=f（5-x），即函数y=f（x）的图象关于直线x=对称．
又因，故函数y=f（x）在（，+∞）上是增函数．
再由对称性可得，函数y=f（x）在（-∞，）上是减函数．
∵任意的x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），故x1和x2在区间（-∞，）上，∴x1+x2＜5．
反之，若 x1+x2＜5，则有x2 -＜-x1，故x1离对称轴较远，x2 离对称轴较近，
由函数的图象的对称性和单调性，可得f（x1）＞f（x2）．
综上可得，“任意的x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）”是“x1+x2＜5”的充要条件，
故选C．