Question

已知集合A={x|-1≤x≤0}，集合B={x|ax+b•2^x-1＜0，0≤a≤2，1≤b≤3}，若a∈R，b∈R则A∩B≠∅的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

根据题意，a∈[0，2]，b∈[1，3]，确定其表示的平面区域，再令函数f（x）=ax+b•2x-1，x∈[-1，0]，求导分析单调性可得其最小值，要使A∩B≠∅，只须-a+-1＜0，分析可得可知A∩B=∅的（a，b）对应的关系式，借助线性规划分析，可得其区域，进而由几何概型的意义计算可得答案．
【解析】
因为a∈[0，2]，b∈[1，3]，
所以（a，b）对应的区域边长为2的，
正方形（如图），面积为4．
令函数f（x）=ax+b•2x-1，x∈[-1，0]，则f′（x）=a+bln2•2x．
因为a∈[0，2]，b∈[1，3]，所以f'（x）＞0，即f（x）在[-1，0]上是单调增函数．
f（x）在[-1，0]上的最小值为-a+-1．
要使A∩B≠∅，只须-a+-1＜0，即2a-b+2＞0．
要使A∩B=∅，只须f（x）min=-a+-1≥0⇒2a-b+2≤0，
所以满足A∩B=∅的（a，b）对应的区域是如图阴影部分．
所以S阴影=×1×=．
所以A∩B=∅的概率为P==，
则A∩B≠∅的概率为1-=．
故选D．