Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中a、b、c，满足a＞b＞c，a+b+c=0（a，b，c∈R）．
（1）求证：两函数的图象交于不同的两点A，B；
（2）求线段AB在x轴上的射影A₁B₁的长的取值范围．

Answer

（1）联立两个函数的方程得 ax2+2bx+c=0．所以△=4（a+）2+3c2．∵a+b+c=0，a＞b＞c，∴a＞0，c＜0．，
∴△＞0，即两函数的图象交于不同的两点
（2）由题意得|A1B1|2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=∵a+b+c=0，a＞b＞c，a＞0，c＜0，∴a＞-a-c＞c所以∈（-2，-）．
再根据二次函数的性质求得A1B12∈（3，12），故A1B1∈（）
【解析】
（1）由消去y，得 ax2+2bx+c=0．
△=4b2-4ac=4（-a-c）2-4ac=4（a2+ac+c2）=4（a+）2+3c2．
∵a+b+c=0，a＞b＞c，∴a＞0，c＜0．
∴c2＞0，∴△＞0，即两函数的图象交于不同的两点．
（2）设方程ax2+2bx+c=0的两根为x1和x2，则x1+x2=-，x1x2=．
|A1B1|2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2
=
=．
∵a+b+c=0，a＞b＞c，a＞0，c＜0，
∴a＞-a-c＞c，解得∈（-2，-）．
∵的对称轴方程是，且当∈（-2，-）时，为减函数，
∴A1B12∈（3，12），故A1B1∈（）．