Question

设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且=2，=0；
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是曲线C上除去原点外的不同三点，且，，成等差数列，当线段AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求点B的坐标．

Answer

（1）设出N的坐标，确定，的坐标，利用=0，可得点N的轨迹C的方程；
（2）先确定线段AD的垂直平分线的斜率、AD的斜率，可得方程，利用点B在抛物线上，即可求得点B的坐标．
【解析】
（1）设N（x，y），由=2，得点P为线段MN的中点，∴P（0，），M（-x，0），
∴=（-x，-），=（1，-）．
由=-x+=0，得y2=4x．
即点N的轨迹方程为y2=4x．
（2）由抛物线的定义，知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，|DF|=x3+1，
∵，，成等差数列，
∴2x2+2=x1+1+x3+1，即x2=．
∵线段AD的中点为（，），且线段AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0），
∴线段AD的垂直平分线的斜率为k=．
又kAD=，∴•=-1，
即=-1．
∵x1≠x3，∴x1+x3=2，又x2=，∴x2=1．
∵点B在抛物线上，
∴B（1，2）或（1，-2）．