Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为．
（1）设侧棱长为1，求证：AB₁⊥BC₁；
（2）设AB₁与BC₁的夹角为，求侧棱的长．

Answer

（1）取BC中点D，连接AD，B1D，得面ABC⊥面BCC1B1．再利用直线与平面垂直的判定定理得出AD⊥面BCC1B1于是Rt△CBC1与Rt△BB1D相似，最后得AB1⊥BC1；
（2）取BC1的中点D，AC的中点E，连DE，则DE∥AB1，∠EDB即为A B1与B C1成角，利用等边三角形EDB中，BD的长，从而得出侧棱的长．
【解析】
（1）取BC中点D，连接AD，B1D，
由正三棱锥ABC-A1B1C1，得面ABC⊥面BCC1B1．
又D为三角形ABC的边BC的中点，故
AD⊥BC，于是AD⊥面BCC1B1
在矩形BCC1B1中，BC=，BB1=1，
于是Rt△CBC1与Rt△BB1D相似，
∠CBC1=∠BB1D，BC1⊥DB1
得AB1⊥BC1

（2）取BC1的中点D，AC的中点E，连DE，则DE∥AB1，∠EDB即为A B1与B C1成60角，
∴∠EDB=60°，在等边三角形EDB中，BD=BE=，
∴BC1=2BD=，⇒BB1==2
∴侧棱长为2（14分）