Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）{a_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）分别取n=1，n=2，根据方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1，即可求得a1，a2；
（Ⅱ）由题设（Sn-1）2-an（Sn-1）-an=0，即Sn2-2Sn+1-anSn=0，当n≥2时，an=Sn-Sn-1，代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0，通过计算猜想Sn=，n=1，2，3，…．再用数学归纳法证明这个结论，进而利用当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=，n=1时，a1==，即可求得{an}的通项公式．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1，
于是（a1-1）2-a1（a1-1）-a1=0，解得a1=．
当n=2时，x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-，
于是（a2-）2-a2（a2-）-a2=0，解得a2=．
（Ⅱ）由题设（Sn-1）2-an（Sn-1）-an=0，
即Sn2-2Sn+1-anSn=0．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1，代入上式得
Sn-1Sn-2Sn+1=0 ①
由（Ⅰ）知S1=a1=，S2=a1+a2=+=．
由①可得S3=．
由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．
下面用数学归纳法证明这个结论．
（i）n=1时已知结论成立．
（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，
当n=k+1时，由①得Sk+1=，即Sk+1=，
故n=k+1时结论也成立．
综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．
于是当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=，
又n=1时，a1==，所以{an}的通项公式an=，n=1，2，3，…．