Question

已知数列{a_n}的各项均为正整数，S_n为其前n项和，对于n=1，2，3，…，有a_n+1=．当a₁=1时，S₁+S₂+…+S₂₀=    ．

Answer

由a1=1，可得a2=3a1+5=8，a3==，根据题意当k=3时，a3=1．得到a4=3a3+5=8．…．
由此可得：数列{an}是奇数项组成以常数1为项的常数列，偶数项是以常数8为项的常数列．即可得出．
【解析】
∵a1=1，∴a2=3a1+5=8，a3==，取k=1，2时，a3为偶数，应舍去；当k=3时，a3=1．
∴a4=3a3+5=8．
…．
∴数列{an}是奇数项组成以常数1为项的常数列，偶数项是以常数8为项的常数列．
∴S2k=k×1+k×8=9k，S2k-1=S2k-8，
∴S2+S4+…+S10=9×（1+2+…+5）=135．
∴S1+S3+…+S9=（S2-8）+（S4-8）+…+（S10-8）=135-8×5=95．
∴S1+S2+…+S20=135+95=230．
故答案为230．