Question

已知数列{a_n}满足以下两个条件：①点（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上；②首项a₁是方程3x²-4x+1=0的整数解．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）等比数列{b_n}中，b₁=a₁，b₂=a₂，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）由题意可得{an}是一个等差数列，且公差为2，首项为1，易得通项公式；（II）由（I）易得等比数列{bn}的首项和公比，代入求和公式可得答案．
【解析】
（I）方程3x2-4x+1=0的解为x=，或x=1，故整数解为x=1
根据已知a1=1，an+1=an+2，即an+1-an=2，
所以数列{an}是一个等差数列，且公差为2，
故可得an=1+2（n-1）=2n-1…（6分）
（II）由（I）可知，b1=a1=1，b2=a2=3，…（8分）
故等比数列{bn}中，公比q==3，所以bn=1×3n-1=3n-1…（10分）
故数列{bn}的前n项和Tn===…（12分）