Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（x-）-f（x+）的单调递增区间．

Answer

（I）先利用函数图象求此函数的周期，从而计算得ω的值，再将点（，0）和（0，1）代入解析式，分别解得φ和A的值，最后写出函数解析式即可；
（II）先利用三角变换公式将函数g（x）的解析式化为y=Asin（ωx+φ）型函数，再将内层函数看做整体，置于外层函数即正弦函数的单调增区间上，即可解得函数g（x）的单调增区间
【解析】
（I）由图象可知，周期T=2（-）=π，∴ω==2
∵点（，0）在函数图象上，∴Asin（2×+φ）=0
∴sin（+φ）=0，∴+φ=π+2kπ，即φ=2kπ+，k∈z
∵0＜φ＜
∴φ=
∵点（0，1）在函数图象上，∴Asin=1，A=2
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）
（II）g（x）=2sin[2（x-）+]-2sin[2（x+）+]=2sin2x-2sin（2x+）
=2sin2x-2（sin2x+cos2x）=sin2x-cos2x
=2sin（2x-）
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈z
得kπ-≤x≤kπ+
∴函数g（x）=f（x-）-f（x+）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]k∈z