Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=t（S_n-a_n+1）（t＞0），且4a₃是a₁与2a₂的等差中项．
（Ⅰ）求t的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）当n≥2时，Sn=t（Sn-an+1），再写一式，两式相减，可得{an}是首项a1=t，公比等于t的等比数列，利用4a3是a1与2a2的等差中项，即可求得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ），得bn=（2n+1）×2n，利用错位相减法，可求数列{bn}的前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，S1=t（S1-a1+1），所以a1=t，
当n≥2时，Sn=t（Sn-an+1）①
Sn-1=t（Sn-1-an-1+1），②
①-②，得an=t•an-1，即．
故{an}是首项a1=t，公比等于t的等比数列，所以an=tn，…（4分）
故，
由4a3是a1与2a2的等差中项，可得8a3=a1+2a2，即8t3=t+2t2，
因t＞0，整理得8t2-2t-1=0，解得t=或t=-（舍去），
所以t=，故an=．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得bn==（2n+1）×2n，
所以Tn=3×2+5×22+7×23+…+（2n-1）×2n-1+（2n+1）×2n，③
2Tn=3×22+5×23+7×24+…+（2n-1）×2n+（2n+1）×2n+1，④
③-④，得-Tn=3×2+2（22+23+…+2n）-（2n+1）×2n+1      …（8分）
=-2+2n+2-（2n+1）×2n+1=-2-（2n-1）×2n+1…（11分）
所以Tn=2+（2n-1）×2n+1．…（12分）