Question

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若双曲线上存在一点P，使=，求双曲线的离心率的范围．

Answer

先根据正弦定理得=，又由已知，得，最后根据P在双曲线右友，可得关于e的不等式，进而根据三角函数的范围确定e的范围．
【解析】
根据已知，点P不是双曲线的顶点，否则=无意义．
因为在△PF1F2中，由正弦定理得=．
又由已知，得，即|PF1|=|PF2|，且P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得
|PF1|-|PF2|=2a，则|PF2|-|PF1|=2a，即|PF2|=，由双曲线的几何性质，知
|PF2|＞c-a，则＞c-a，即c2-2ac-a2＜0，∴e2-2e-1＜0，解得-＜e＜，
又e＞1，故双曲线的离心率的范围是（1，）．