Question

在平面直角坐标系中，若=（x，y+2），=（x，y-2），且|=8．
（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程，不存在，说明理由．

Answer

（1）因为，且．所以动点M到两个定点F1（0，-2），F2（0，2）的距离的和为8．由此能求出动点M（x，y）的轨迹C的方程．
（2）若直线l是y轴，则A、B是椭圆的顶点．，所以O与P重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），由，由于△=（18k2）-4（4+3k2）（-21）＞0恒成立．由韦达定理．因为，所以OAPB是平行四边形．由此能够导出存在直线，使得四边形OAPB为矩形．
【解析】
（1）因为，且．
所以动点M到两个定点F1（0，-2），F2（0，2）的距离的和为8．
所以轨迹C以F1（0，-2），F2（0，2）为焦点的椭圆，
方程为．
（2）为直线l过点（0，3）．
若直线l是y轴，则A、B是椭圆的顶点．
，
所以O与P重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．
所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）
由，
由于△=（18k2）-4（4+3k2）（-21）＞0恒成立．
由韦达定理．
因为，
所以OAPB是平行四边形．
若存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，
则OA⊥OB，即，
因为，，
所以，
所以（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，
所以
机，
故存在直线，使得四边形OAPB为矩形．