Question

已知等差数列{a_n}的前n项的和记为S_n．如果a₄=-12，a₈=-4．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求S_n的最小值及其相应的n的值；
（Ⅲ）从数列{a_n}中依次取出，构成一个新的数列{b_n}，求{b_n}的前n项和．

Answer

（Ⅰ）可设等差数列{an}的公差为d，由a4=-12，a8=-4，可解得其首项与公差，从而可求得数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）得到数列{an}的通项公式an=2n-20，可由求得n取何值时Sn取得最小值，然后由求和公式可求得答案；
（Ⅲ）根据题意求得，利用分组求和法可求得数列{bn}的前n项和为Tn．
【解析】
（Ⅰ）设公差为d，由题意，可得，解得，
∴an=2n-20…（3分）
（Ⅱ）由数列{an}的通项公式an=2n-20得：
当n≤9时，an＜0，
当n=10时，an=0，
当n≥11时，an＞0．
∴当n=9或n=10时，Sn取得最小值，又Sn==（n-19）•n
∴S9=S10=-90…（6分）
（Ⅲ）记数列{bn}的前n项和为Tn，由题意可知，
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=（21-20）+（22-20）+（23-20）+…+（2n-20）
=（21+22+23+…+2n）-20n=
=2n+1-20n-2…（12分）