Question

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为2．过P（0，-2）的直线l与双曲线C交于不同的两点M、N．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）当时，求直线l的方程；
（Ⅲ）设t=（O为坐标原点），求t的取值范围．

Answer

（I）根据双曲线的焦点F到渐近线的距离是2，得=2，根据双曲线C的离心率=2，再结合双曲线中a，b，c的关系，解出a，b，就求出双曲线C的方程．
（II）设点M（x1，y1），N（x2，y2），设出直线l的方程，与双曲线方程联立，求出x1+x2，x1x2，根据得到一个关于k的等式，解出k，即可求出直线l的方程．
（III）利用向量的数量积公式得出t关于k的函数表达式，最后利用函数的值域求出t的取值范围．
【解析】
（I）由对称性，不妨设一渐近线为y=x，右焦点为F（c，0），
则 =2，又=2，c2=a2+b2，
解得a2=4，b2=12，所以双曲线C的方程是 =1；
（II）设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx-2，设点M（x1，y1），N（x2，y2），
由，得x1=2x2．
由 得：（3-k2）x2+4kx-16=0，
∵l与双曲线C的右支交于不同的两点M，N，
∴，消去x2，解得k=
∴直线l的方程为y=x-2．
（Ⅲ）t==
==．（10分）
∵0≤k2＜4且k2≠3，得 t＞52或 ．（12分）